<t->
          Matemtica
          Ideias e desafios
          8 Ano 
          Ensino Fundamental          
          
          Iracema Mori
          Dulce Satiko Onaga

          Impresso Braille em 10 
          partes, na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 15 edio reformulada 
          -- 2009 So Paulo, 
          da Editora Saraiva.

          Quarta Parte

          Ministrio da Educao
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
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          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2013 --
<p>
          Matemtica: Ideias e Desafios 
          -- 8 ano (Ensino 
          Fundamental)
          Copyright (C) Iracema Mori, 
          Dulce Satiko Onaga, 2009
          Direitos desta Edio:
          SARAIVA S.A. -- Livreiros 
          Editores, So Paulo, 2009 

          Gerente editorial 
          Marcelo Arantes
          Editora 
          Viviane de L. Carpegiani 
          Tarraf 
          Editores assistentes 
          Renato Alberto Colombo Jr.; Rita de Cssia Sam

          Todos os direitos reservados 
          Editora Saraiva 2010
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          -- CEP 05413-010 -- Pinheiros 
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          editorasaraiva.com.br~,
<p>
                               I
Sumrio 

Quarta Parte

Unidade 4

Polinmios e operaes :::: 289
1 -- Polinmios :::::::::: 291
Polinmio na forma 
  reduzida ::::::::::::::::: 298
Valor numrico de um 
  polinmio :::::::::::::::: 300
2 -- Polinmio com uma 
  varivel ::::::::::::::::: 306
Grau de um polinmio 
  com uma varivel ::::::::: 310
3 -- Adio e subtrao 
  de polinmios :::::::::::: 316
Adio e subtrao :::::::: 316
4 -- Multiplicao e 
  diviso de 
  polinmios ::::::::::::::: 329
Multiplicao ::::::::::::: 329
Diviso ::::::::::::::::::: 346
Relao entre a 
  multiplicao e 
  a diviso :::::::::::::::: 354
Leitura + (mais) :::::::: 359
Reviso cumulativa 
  e testes ::::::::::::::::: 364

Unidade 5

Simetria, movimento 
  e padres em 
  Geometria ::::::::::::::: 375
1 -- Simetria :::::::::::: 377
Simetria axial :::::::::::: 377
Simetria central :::::::::: 383
2 -- Movimentos em 
  Geometria ::::::::::::::: 389
Padres geomtricos ::::::: 389
Movimentos :::::::::::::::: 390
3 -- Movimentos e 
  propriedades 
  geomtricas :::::::::::::: 405
4 -- Padres e 
  ladrilhamentos ::::::::::: 419
Leitura + (mais) :::::::: 432
Reviso cumulativa 
  e testes ::::::::::::::::: 433

<96>
<ti. d. mat. 8 ano>
<T+289>
Unidade 4

 Polinmios e operaes

<R+>
_`[{duas fotos seguidas por legendas_`]
 Foto 1: Meninas jogando basquete e uma delas est lanando a bola na cesta.
 Legenda: A bola lanada a uma cesta descreve uma curva at atingir seu alvo. A altura em que a bola se encontra aps *t* segundos do lanamento  calculada pelo polinmio 30.t-
  -4,9.t2, e temos a frmula h=30.t-4,9.t2.
 Foto 2: Vrias televises em uma loja. A moa diz: "Reajuste de 15%!"
 Legenda: O preo de uma mercadoria aps um reajuste de 15% pode ser representado por p+15%p, ou p+0,15p, em que *p* representa o preo antigo. p+0,15p indica a soma dos monmios *p* e 0,15p.

<97>
_`[{duas figuras no adaptadas seguidas por legenda; o menino diz: "Que expresso algbrica representa a rea da parte pintada de azul da figura 2?"_`]
 Legenda 1: rea pintada de azul =172-132.
 Legenda 2: Na situao a rea pintada de azul pode ser representada por a2-b2. a2-b2  a diferena entre os monmios a2 e b2.
<R->

  Algumas situaes se caracterizam pela busca de regularidades e permitem escrever expresses algbricas que traduzem leis gerais, ou seja, frmulas.
  Vamos ampliar nosso estudo sobre expresses algbricas conhecendo os polinmios e as operaes entre eles.
<R+>
  Os monmios que formam a expresso algbrica a+0,15a so semelhantes? Escreva em seu caderno essa expresso na forma reduzida.
<P>
  Quais so os monmios cuja diferena  dada pela expresso algbrica 30t-4,9t2? Eles so monmios semelhantes?
<R->

 1 -- Polinmios

  As expresses algbricas que estudaremos representam nmeros reais. No lugar de sentenas com nmeros especficos, nas expresses algbricas usamos letras que representam nmeros reais quaisquer. Essas letras podem ser *x*, *y*, *a*, *b*...
  Em 1638, o filsofo e matemtico francs Ren Descartes (1596-1650) usou as primeiras letras do alfabeto para designar os nmeros conhecidos e as ltimas letras para as incgnitas. Ele avanou assim no longo processo evolutivo do simbolismo algbrico. Sua obra  o primeiro texto matemtico que um estudante de Matemtica atual pode ler sem encontrar dificuldades com a notao.
  Com as expresses algbricas podemos efetuar todas as operaes que j aprendemos e utilizar as propriedades dessas operaes. As expresses algbricas permitem, tambm, expressar generalizaes sobre as propriedades das operaes aritmticas.
  Observe estas figuras _`[no adaptadas_`].
  A letra *a*  uma varivel que representa a medida de um dos lados do quadrado maior, a letra *b*  uma varivel que representa a medida de um dos lados do quadrado mdio e a letra *c*  uma varivel que representa a medida de um dos lados do quadrado menor.

<R+>
 wr
  Qual  a rea da parte pintada de verde em cada figura?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<P>
  Representamos as reas dos quadrados utilizando as letras *a*, *b* e *c*, que expressam as medidas dos lados.

<99>
 Na figura A:
 quadrado de lado a -- rea: a2
 quadrado de lado b -- rea: b2
 rea pintada de verde =a2-b2

 Na figura B:
 quadrado de lado c -- rea: c2
 rea pintada de verde =a2-b2+
  +c2

  Dizemos que as expresses algbricas a2-b2 e a2-b2+c2 so polinmios.
  Os monmios a2 e -b2 so termos do polinmio a2-b2. Eles no so monmios semelhantes. Como a2-b2  uma soma algbrica de dois monmios, esse polinmio  tambm chamado de binmio.
<P>
  a2-b2+c2  uma soma algbrica de trs monmios que no so semelhantes. Chamamos esse polinmio de trinmio.
  Observe outros exemplos de polinmios:

_`[{o professor diz_`]
  "Os termos de um polinmio so monmios."

<R+>
 -9t3+8t-12 --  um trinmio cujos termos so: -9t3, 8t e -12.
 -#,bx2y-9x2+3y+4 --  um polinmio que tem quatro termos: -#,bx2y, -9x2, 3y e 4.

 Polinmio  uma soma algbrica de monmios.
<R->
<P>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 1. Que polinmio expressa o permetro em cada uma destas figuras?
<F->
a)
        e
          e
            e
 2a         e 5b
                e
                  e
                    e
                      e
------------------------e 
          7c
<P>
b)
    6n
!::::::::
l        _
l        _
l        _
l        _
l        _ #:dm
l        _
l        _
l        _
h::::::::j

c)
               3y
           iccccccccce   
          i           e
0,5x2 i             e7x
        i               e
       i                 e
      -------------------u  
               4xy 
<F+>

 2. Escreva os polinmios que representam as reas das figuras:
<P>
<F->
a)
!::::::::::::::::::
l                _  _
l                _  _
l                _  _y2
l                _  _
h::::::::::::::::j::j
        4         y

b)
!::::::::::::::::::
l                   _2
r:::::::::::::::::::w
l                   _
l                   _
l                   _
l                   _a3
l                   _
l                   _
r:::::::::::::::::::w
l                   _
l                   _3a2
l                   _
h:::::::::::::::::::j
        a
<P>
c)
 x
!::
l  _
l  _
l  _3x
l  _
l  _  4
l  :::::
l        _2
h::::::::j
<F+>

<100>
 3. Identifique e anote os termos destes polinmios:
 a) #;c-4a3b+b3~2
 b) -x2y+2xy-3y2+xy2
 c) x2-3x
 d) xy4~3
<R->

 Polinmio na forma reduzida

  Um polinmio que possui monmios semelhantes pode ser escrito com um nmero menor de termos:  a forma reduzida desse polinmio.
<P>
  Vamos escrever o polinmio 15a+#;c~ab-b+5ab+b~3-a na forma reduzida.

 15a+#;c~ab-b+5ab+b~3-a
 15a-a=14a
 #;c~ab+5ab=#,=c~ab
 -b+b~3=-#;c~b
 14a+#,=c~ab-#;c~b

  A forma reduzida de 15a+
 +#;c~ab-b+5ab+b~3-a  igual a 14a+#,=c~ab-#;c~b.

<R+>
 wr
  Escreva o polinmio -4x2y+2x+x2y-6x2y+9x na forma reduzida.
<R->

  Agrupamos e reduzimos os termos semelhantes:

 -4x2y+2x+x2y-6x2y+9x=
  =-4x2y+x2y-6x2y+2x+9x=
  =-9x2y+11x
<P>
  Portanto, -4x2y+2x+x2y-
 -6x2y+9x  igual a -9x2y+
 +11x.

 Valor numrico de um polinmio

<R+>
 wr
  Qual  o valor numrico do trinmio -3x3+2x2-4xy para x=-1 e y=3?
<R->

  Atribuindo a *x* o valor -1 e a *y* o valor 3 e efetuando os clculos indicados, obtemos o valor numrico do trinmio para esses valores.

 Trinmio: -3x3+2x2-4xy
 Para x=-1 e y=3, temos:
 -3x3+2x2-4xy=-3.`(-1`)3+
  +2.`(-1`)2-4.`(-1`).3=
  =-3.`(-1`)+2.1-4.`(-1`).3=
  =+3+2+12=17

  O nmero 17  o valor numrico do trinmio -3x3+2x2-4xy para x=-1 e y=3.

<101>
<P>
<R+>
 wr
  Calcule o valor numrico do polinmio y4-y2+1 para y=-#,b.
<R->

 Valor numrico: `(-#,b`)4-
  -`(-#,b`)2+1=+#,af-#,d+1=
  =?+1-4+16*~16=#,:af

  O valor numrico do polinmio y4-y2+1 para y=-#,b  #,:af.

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 4. Qual  a forma reduzida do polinmio x3+2x2y+xy2+
  +2xy2-6x2y?

 5. A letra P representa um polinmio. Sabendo que P=#=aj~abc-2ab+#,e~ab-abc, responda:
<P>
 a) Qual  a forma reduzida de P?
 b) Na forma reduzida, P  um binmio ou um trinmio?

 6. Identifique se  monmio, binmio ou trinmio:
 a) x3+2x
 b) 36x+7x-#,bx
 c) x2+xy+xy+y2
 d) 32a2+b2-2ab+4ab-
  -32a2

 7. Qual  o valor numrico do polinmio y2~2-y~3+
  +#!e-7y2~10+5y~6 para y=-4?

 Problema resolvido

 8. O valor numrico do binmio 3x~5+25  igual a zero para um certo valor de *x*. Qual  esse valor?
<P>
 Primeiro destacamos a informao do problema:
 O valor numrico de 3x~5+25  igual a zero

 3x~5+25=0

_`[{o menino diz_`]
  "Resolvemos a equao." 

 Equao do problema:
 3x~5+25=0
 3x~5+#,;?e=0
 3x+125=0  
 3x=-125  
 x=-#,;?c

 Resposta: O valor numrico de 3x~5+25  igual a zero para x=-#,;?c.

 9. Calcule o valor de *y* para o qual o valor numrico do polinmio 5y-7  13.
 10. Para que valor de *a* o valor numrico do binmio #=c~a-14  igual a zero?

<102>
 Troque ideias e resolva

 wr
  Calcule os valores numricos destes polinmios:

 A=a2-2ab+b2
 B=`(a-b`)2

 a) para a=3 e b=-7;
 b) para a=-0,4 e b=#:e.
  Escolha um valor para *a* e outro para *b* e calcule o valor numrico desses polinmios.
  Compare os valores numricos dos polinmios A e B, em cada item anterior. O que voc observou?
<R->

 Usando a calculadora

  Calcule e anote em seu caderno o valor numrico dos polinmios para os valores dados:
<P>
<R+>
 Use a memria da calculadora.

 a) x2-2xy-y2, para x=2 e y=-4
 b) a3~2-b2, para a=-6 e b=6
 c) x3+3x2y-8xy2-y3, para x=1 e y=-1
<R->

 Seo + (mais)

 Expresses gerais e alguns 
  nmeros especiais

  2n representa um nmero inteiro par e 2n+1 representa um nmero inteiro mpar.

_`[{a menina diz_`]
  "2.n+1  mpar, mesmo quando *n*  um nmero inteiro negativo?"

 Experimente!
<P>
<R+>
  Observe e responda:
 a) 3, 5 e 7 e -12, -11 e -10 so grupos de trs nmeros inteiros mpares consecutivos?
 b) Represente trs nmeros inteiros mpares consecutivos usando letras.
 c) Represente, tambm, trs nmeros inteiros pares consecutivos.

  Os valores numricos de n2-n+41 e de n2-79n+1.601 para alguns casos so nmeros primos. Verifique a validade desse fato para alguns valores de *n*.
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<103>
 2 -- Polinmio com uma varivel

  Nesta figura, a letra *x* representa um nmero real.
<P>
<F->
M  4x T  
!::::::::
l        _
l        _
l        _ 4x 
l        _
l        _S 5  
l        :::::R
l              _ 5 
h::::::::::::::j 
N            P
<F+>

<R+>
 wr
  Que expresso algbrica indica a rea dessa figura?
<R->

  Podemos decompor o hexgono dado em dois quadrados e um retngulo:
<P>
<F->
   E  4x  L  
   !::::::::
   l        _
   l        _
   l  A    _ 4x 
   l        _
   l        _J 5  
   r:::::::::::::H
5 l   B   _  C _ 5 
   h::::::::j:::::j 
   F  4x       G
<F+>

<R+>
 rea A=4x.4x=16x2
 rea B=4x.5=20x
 rea C=5.5=25
 rea {e{f{g{h{j{l= rea A+ rea B+ rea C=16x2+20x+25
 A rea desse hexgono  representada pelo trinmio: 16x2+
  +20x+25
 16x2+20x+25  um polinmio com uma varivel que  representada pela letra *x*.
<R->

  Nesse polinmio:
<R+>
  o coeficiente de x2  16;
  o coeficiente de *x*  20;
<P>
  o termo independente de *x*  25.

 Polinmio com uma varivel  todo polinmio cujos termos tm uma s letra na parte literal e essa letra  sempre a mesma em todos os termos.
<R->

  Observe que no polinmio 16x2+20x+25 os expoentes dos monmios esto em ordem decrescente. Nesse caso, dizemos que o polinmio est escrito em uma forma ordenada. Isso tambm vale para os expoentes dos monmios que esto em ordem crescente.

<R+>
 Um polinmio est na forma ordenada, em relao a uma varivel, quando os expoentes dos termos esto em ordem crescente ou decrescente nessa varivel.
<R->

  O polinmio que tem todos os coeficientes iguais a zero  chamado de polinmio nulo.
  Exemplo: 0x2+0x+0.

<104>
 Grau de um polinmio com uma 
  varivel

  Observe este polinmio com uma varivel na forma reduzida:

 -6t2+20t+25

<R+>
 wr
  Qual  a varivel desse polinmio?
  Qual  o maior expoente dessa varivel com coeficiente diferente de zero?

 -6t2+20t+25: O maior expoente de *t* com coeficiente diferente de zero  2 e est no termo -6t2. Este polinmio tem grau 2.
<R->

  Veja outros exemplos:

<R+>
 4-20z+#:bz2-z3: O maior expoente de *z* com coeficiente diferente de zero  3 e est no termo -z3. Este polinmio tem grau 3.
 -0,6y4-1: O maior expoente de *y* com coeficiente diferente de zero  4 e est no termo -0,6y4. Este polinmio tem grau 4.
 3m-#,d: O maior expoente de *m* com coeficiente diferente de zero  1 e est no termo 3m. Este polinmio tem grau 1.
 8: 8=8x0. Este polinmio tem grau 0.

 Grau de um polinmio (no nulo) com uma varivel  o maior expoente da varivel que tem coeficiente diferente de zero.
<R->

  Observe os termos dos polinmios a seguir: 

 -6t2+20t+25 
 4-20z+#:bz2-z3 
 3m-#,d
 8
<P>  
  Em cada polinmio, todos os termos tm coeficientes diferentes de zero, ou seja, tm todas as potncias da varivel, desde o grau do polinmio at zero. Eles so denominados polinmios completos.
  Os polinmios 0,6y4-1 ou 0,6y4+0.y3+0.y2+0.y+
 +1.y0 e -18y2+8y ou -18y2+8y+0.y0 tm alguns dos coeficientes de *y* iguais a zero, quando observados na ordem decrescente das potncias de *y*.
  Polinmios como esses so denominados polinmios incompletos.
<105>
  Veja outros exemplos:

<R+>
 -y3+3y2+12y+32:  um polinmio de grau 3 completo com uma s varivel representada por *y*. Todos os seus coeficientes so diferentes de zero.
 t~6-#?bt4+1: Esse polinmio pode ser escrito em uma forma ordenada: -#?bt4+t~6+1.  um polinmio de grau 4, com va-
<P>
  rivel *t*, incompleto, porque os coeficientes de t3 e t2 so iguais a zero.
<R->

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 11. Identifique e anote os polinmios com uma varivel:
 a) 3x2+y-1
 b) y3-2y2
 c) 5xy-#,bx2y+1

 12. Anote o grau dos polinmios a seguir, identifique os coeficientes de cada termo e escreva de que tipo  cada polinmio.

 Primeiro reduza os termos semelhantes.

 a) 4x2-x+2x2+3x+2x2
 b) #,ix3-x2+#,ix3+ 
  +#,bx2-#?fx2-
  -#:ex2+#cx2+4 

 13. Quais so os valores de *m* e *n* para que o polinmio `(m-2`)y3+`(2n-1`)y2 seja nulo.

 14. Observe o trapzio {r{s{t{u:

<F->
    R    2b   U
    cccccccccccc
    _             
    _              
    _               
----#----------------
S       5b2     T
<F+>

 a) Que polinmio representa a rea desse trapzio?
 b) Qual  o grau desse polinmio? Ele  completo ou incompleto?

 Problema resolvido

 15. Reduza os termos semelhantes do polinmio 2.`(9x+1`)-5x.
<P>
 Aplicamos a propriedade distributiva da multiplicao em relao  adio:

 2.`(9x+1`)-5x=2.9x+2.1-5x
 2.`(9x+1`)-5x=18x+2-5x=
  =13x+2

 Resposta: 2.`(9x+1`)-5x=
  =13x+2.

 16. Reduza os termos semelhantes do polinmio -5.`(3y2+7`)+
  +12y+10y2+30.

 17. Determine o valor numrico dos polinmios com uma varivel:
 a) 8x3-16x2-4x+8, para x=0 
 b) -#,bz2-z+1, para z=-10

 Troque ideias e resolva

  Para que valor de *a* o valor numrico do polinmio #;c~a-1  igual a 7?
<P>
  Determine em seu caderno um valor de *z* para o qual o polinmio z6-32z+150 tem valor numrico igual a 150.
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

 3 -- Adio e subtrao de 
  polinmios

 Adio e subtrao

  Adicionamos e subtramos polinmios aplicando as mesmas propriedades estudadas para nmeros.
  Analise a situao a seguir:
  Este pentgono {a{b{c{d{e est decomposto em um tringulo e um retngulo. A soma das medidas dos lados ^c?{c{d*, ^c?{d{e* e ^c?{e{a*  representada pelo polinmio a+4ab e a soma das medidas dos lados ^c?{a{b* e ^c?{b{c*, pelo polinmio 9a-6ab-6.
<P>
_`[{a menina diz_`]
  "Lembre-se: permetro  a soma das medidas dos lados."

<F->
    A           E
    cccccccccccc
    _            _
B  _            _
    _            _
    _            _
    #------------#
    C           D
<F+>

<R+>
 wr
  Que polinmio representa o permetro do pentgono {a{b{c{d{e?
<R->

_`[{o menino diz_`]
  "O permetro de {a{b{c{d{e  a soma do polinmio a+4ab com o polinmio 9a-6ab-6."

  A soma  o resultado de `(a+4ab`)+`(9a-6ab-6`). Para obt-la, eliminamos os parnteses usando as regras de sinais j estudadas. Em seguida, obtemos uma soma algbrica de monmios e reduzimos os termos semelhantes.
  
 Permetro de {a{b{c{d{e=
  =`(a+4ab`)+`(9a-6ab-6`)=
  =a+4ab+9a-6ab-6=
  =10a-2ab-6

 `(a+4ab`)+`(9a-6ab-6`)=10a-
  -2ab-6

  Podemos tambm calcular a soma usando um esquema semelhante ao aplicado para os nmeros.

<R+>
 Colocamos termo semelhante embaixo de termo semelhante e efetuamos a adio.
<R->

<F->
        a+4ab
+ 9a-6ab-6
:::::::::::::::
 10a-2ab-6
<F+>

<107>
<P>
  Observe os retngulos a seguir.

_`[{figura de dois retngulos_`]
 Legenda: 
 vd -- representa a rea pintada de 
  verde

<F->
F                 I
!:::::::::::::::::::
l vd  vd    vd   vd _
l  !:::::::::::::  _
lvdlJ         N_vd_
l  l             _  _
lvdlL         M_vd_
l  h:::::::::::::j  _
l vd  vd    vd   vd _
h:::::::::::::::::::j
G                 H
<F+>

  A rea do retngulo {f{g{h{i  representada pelo polinmio 8x3+6x2-7 e a rea do retngulo {j{l{m{n, por 7x2-5.
<P>
<R+>
 wr
  Que polinmio poder representar a rea da parte pintada de verde?
<R->

  A rea da parte pintada de verde  a diferena entre os polinmios 8x3+6x2-7 e 7x2-5, nessa ordem.
  Para efetuar a subtrao, eliminamos os parnteses e a transformamos em uma soma algbrica de monmios.

_`[{o professor diz_`]
  "Eliminamos os parnteses trocando os sinais de 7x2-5."

<R+>
 rea verde =`(8x3+6x2-7`)-
  -`(7x2-5`)=8x3+6x2-
  -7-7x2+5=8x3-x2-2
 Note que, trocando os sinais de 7x2-5, obtemos -7x2+5, que  o polinmio oposto dele.
 Indicamos: -`(7x2-5`)=-7x2+
  +5.
<P>
 `(8x3+6x2-7`)-`(7x2-5`)=
  =8x3-x2-2
<R->

  Podemos tambm calcular a diferena usando um esquema:

<F->
 8x3+6x2-7
+      -7x2+5
::::::::::::::::::
   8x3-x2-2
<F+>

<R+>
 -7x2+5 --  o oposto de 7x2-5.
<R->

  A adio e a subtrao de polinmios so transformadas em somas algbricas de monmios. Em seguida, a soma  obtida reduzindo os termos semelhantes.
  Veja outro exemplo:
  As letras A, B e C representam polinmios. Se A=x-2xy+
 +y2, B=3x-4y2 e C=-x+6xy-
 -y2, determine A-B+C.
<P>
  Podemos utilizar um esquema no qual calculamos a soma de A com o oposto de B e com C.
  Lembre-se: colocamos termo semelhante embaixo de termo semelhante e efetuamos as operaes.

<F->
      x-2xy+y2 -- A
      -3x+4y2 -- oposto de B
+    -x+6xy-y2 -- C
:::::::::::::::::
 -3x+4xy+4y2
<F+>

 +4y2 -- oposto de B

 A-B+C=-3x+4xy+4y2

<108>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 18. Obtenha a soma de `(-25a+
  +7ab`) com `(-4ab+16a`).
 19. Calcule `(32a-40b-
  -18c`)-`(27a-18c-27b`).
<P>
 20. Do polinmio `(-3m2+
  +19mp+14p2`), Pedro subtraiu o polinmio `(p2+31mp-
  -10m2`). Que polinmio ele obteve?

 21. Nesta figura, a letra *y* representa um nmero positivo.

_`[{figura adaptada_`]
 Polgono formado por cinco lados: ^c?{a{b*=y2+7; ^c?{b{c*=
  =2y2-9; ^c?{c{d*=8y; ^c?{d{e*=y+5; ^c?{e{a*=y2-3 

 a) Que polinmio representa o permetro dessa figura?
 b) Que valor numrico do polinmio voc obteve no item *a* para y=2,5?
 c) Qual  o permetro dessa figura para y=2,5?

 22. Calcule a soma de `(#,b~ab-#;c`) com `(#,d~ab-#,f`).
<P>
 Problema resolvido

 23. A soma de um polinmio A com `(#,cxy2+10x3-
  -#:dy2+#*dy`)  igual a `(-xy2+#*dy-#,hy2+
  +10x3`). Qual  o polinmio A?

 Vamos fazer um esquema e colocar nele as informaes dadas no problema:

_`[{esquema adaptado_`]
 Polinmio A :> adiciona +`(#,cxy2+10x3-
  -#:dy2+#*dy`) :> 
  -xy2+#*dy-#,hy2+
  +10x3 
 -xy2+#*dy-#,hy2+
  +10x3 :> subtrai 
  -`(#,cxy2+10x3-
  -#:dy2+#*dy`) :> Polinmio A

 Para obter o polinmio A, subtramos o polinmio `(#,cxy2+10x3-#:dy2+
  +#*dy`) do resultado.
 A=`(-xy2+#*dy-#,hy2+10x3`)-
  -`(#,cxy2+10x3-#:dy2+
  +#*dy`)=-xy2+#*dy-#,hy2+
  +10x3-#,cxy2-10x3+
  +#:dy2-#*dy=-xy2-#,hy2-
  -#,cxy2+#:dy2=-xy2-
  -#,cxy2-#,hy2+#:dy2=
  =`(-xy2-#,cxy2`)+`(-#,hy2+
  +#:dy2`)=`(-3.xy2-1.
  .1xy2`)~3+`(-1.1y2+2.
  .3y2`)~8=`(-3xy2-
  -xy2`)~3+`(-1y2+
  +6y2`)~8=-4xy2~3+
  +5y2~8=-#cxy2+#?hy2

 Resposta: O polinmio A  igual a `(-#cxy2+#?hy2`).

<109>
 24. Considere os polinmios A=x2-2xy+4y2 e B=-2x2+2xy+4y2.
 a) Qual  o resultado de `(A+B`)?
 b) Qual  o resultado de `(A-B`)?
<P>
 c) Qual  o valor numrico de `(A+B`) para x=-5 e y=3?
 d) Qual  o valor numrico de `(A-B`) para x=0 e y=#,d?
 e) Que expresso algbrica se obtm para -`(A-B`)?
 f) Qual  o valor numrico de -`(A-B`) para x=0 e y=#,d?

 25. As letras P, Q e R representam polinmios. Como P=-13y3+15y2-y, Q=-15y2+19y3-10 e R=17y3-28, responda:
 a) Qual  o polinmio `(P+Q-R)? 
 b) Qual  o polinmio `(Q-P-R`)?
 c) Qual  o valor numrico de `(P+Q-R`) para y=2?
 
 26. Calcule a diferena de `(-0,5z3-1,3z2-5`)-
  -`(z3+0,7z2-4z-12`).
 27. Que monmio deve ser adicionado ao polinmio 7a4-
  -4a2-12a+19 para que se obtenha um trinmio do 2 grau?
 28. Qual  o polinmio que adicionado a 8a3+14a2-
  -9 resulta em -a3+a2-
  -2a+6?
 29. A soma de dois polinmios  igual a `(#,bx2+
  +#?fx+#:h`). Um deles  `(#:dx2+#,f+#,cx`). Qual  o outro polinmio.
<R->

 Seo + (mais)

 Peas do tangram e expresses 
  algbricas

  Voc se lembra do tangram, aquele quebra-cabea chins?

_`[{o menino diz_`]
  "So sete peas que podem formar um quadrado."

_`[{a menina diz_`]
  "Vamos brincar um pouco com ele?"
<P>
  Desenhe as peas do tangram em uma cartolina e recorte-as.
<R+>
  A pea 1  um tringulo retngulo. Identifique as outras peas.
  Quais so as peas que podem ser utilizadas para compor o tringulo 1, o paralelogramo e o quadrado 4? Para obter a resposta, manuseie as peas do jogo. Em seguida, registre sua resposta contornando as figuras em seu caderno.
  Se a letra *a* representa a metade da medida do lado do quadrado formado pelas sete peas, qual  a rea desse quadrado? Calcule a rea de cada uma das sete peas do tangram.
  Mostre que a soma das reas dessas sete peas  igual  rea do quadrado formado por elas.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::
<110>
 4 -- Multiplicao e diviso de 
  polinmios

 Multiplicao

  A multiplicao de polinmios se baseia no produto de monmios e na propriedade distributiva da multiplicao em relao  adio.

 Multiplicao de monmio por 
  polinmio

  Observe o retngulo a seguir.

<F->
M      6x3  P
!:::::::::::::::: 
l                _ 
l                _  
l                _ 8x-2 
l                _  
h::::::::::::::::j 
N              O
<f+>

  Nele o comprimento  representado pelo monmio 6x3 e a largura, pelo polinmio `(8x-2`).

<R+>
 wr
  Que polinmio representa a rea desse retngulo?
<R->

  A rea de {m{n{o{p  o produto do comprimento 6x3 pela largura 8x-2, ou seja,  o produto do monmio 6x3 pelo binmio `(8x-2`).

_`[{a professora diz_`]
  "Aplicamos a propriedade distributiva."

<R+>
 rea {m{n{o{p=6x3.`(8x-2`)=
  =6x3.8x-6x3.2=48x4-
  -12x3
 6x3.`(8x-2`)=48x4-12x3
 A rea desse retngulo pode ser representada pelo binmio 48x4-12x3.
<R->

  Veja outros exemplos de clculo do produto de um monmio por um polinmio:
<P>
 1) `(-5ab`).`(16a-8b2`) 
 `(-5ab`).`(16a-8b2`)=
  =-5ab.16a+5ab.8b2=
  =-80a2b+40ab3
 `(-5ab`).`(16a-8b2`)=
  =-80a2b+40ab3

 2) `(-15x2`).`(-#,cx2+#ex-
  -#,cj`)
 `(-15x2`).`(-#,cx2+#ex-
  -#,cj`)=
  =+15x2.#,cx2-15x2.
  .#ex+15x2.#,cj=
  =5x4-12x3+#,bx2
 `(-15x2`).`(-#,cx2+
  +#ex-#,cj`)=5x4-12x3+
  +#,bx2

<111>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 30. Neste retngulo, as letras *x* e *y* representam nmeros reais positivos.
<P>
<F->
L     5x2y     y R
!::::::::::::::::::::
l                _    _
l                _    _
l                _    _ 2y
l                _    _
h::::::::::::::::j::::j
U                   A
<F+>

 a) Qual  o polinmio que representa o comprimento ^c?{l{r* de {l{u{a{r?
 b) Qual  o polinmio que representa a rea de {l{u{a{r?
 c) Qual  a rea de {l{u{a{r para x=1,5 e y=3?

 31. Qual  o produto do monmio -13ab2 pelo polinmio `(-2a+5b-3a2b-6`)?
 32. Qual  o resultado de `(-#,?hxy`).`(16x-#"ey2-
  -#"aex2y`)?

 33. Nesta figura _`[no adaptada_`], o raio da circunferncia  representado por `(2a+b`). Que polinmio poder representar o comprimento dessa circunferncia?

 34. Sabendo que P=y4-y~3+6 e Q=3y2, responda s questes.
 a) Qual  o produto de P por Q?
 b) Qual  o valor numrico do produto P.Q para y=-1?

 35. Considere P=-#,"bem2n e Q=#?bm-#,?dn2+#;?imn-15.
 a) Qual  o produto de P por Q?
 b) Qual  o valor numrico do produto P.Q para m=-2 e n=0?
 c) Qual  o resultado de P.Q-`(-2m3n2+
  +#;=ajm2n3`)?
<R->
<P>
 Multiplicao de polinmio por 
  polinmio

  Nesta figura, *a* representa um nmero positivo.

<F->
   R     3a        7 V
   !::::::::::::::::::::
 a l                      _ 
                        _
   l                      _ 
9 l                      _
   h::::::::::::::::::::::j
   S                    T
<F+>

<R+>
 wr
  Escreva em seu caderno um polinmio que represente a rea do retngulo {r{s{t{v.
<R->

_`[{a professora diz_`]
  "Comece decompondo esta figura em outros retngulos."

  A rea do retngulo {r{s{t{v  dada pelo produto dos binmios 
<P>
 `(3a+7`) e `(a+9`). Esse produto pode ser calculado de vrias maneiras:

<F->
         3a+7
   pccccccccccccccccccc
  R      3a     7 V
   !:::::::::::::::::: :::
 a l      1      _ 3 _    _
   r::::::::::::::w::::w    _
   l              _    _    _
9 l              _    _    _ a+9
   l      2      _ 4 _    _   
   l              _    _    _  
   h::::::::::::::j::::j :::j
   S                 T 
<F+>

<R+>
  Decompondo o retngulo {r{s{t{v em quatro retngulos.
 rea de {r{s{t{v  a soma das reas 1, 2, 3 e 4.
 rea 1=#c~a.a=3a2
 rea 2=#c~a.9=27a 
 rea 3=#g.a=7a
 rea 4=7.9=63
<R->

<112>
<P>
 Adicionamos as reas...
 rea de {r{s{t{v=3a2+27a+
  +7a+63=3a2+34a+63

  Como a rea de {r{s{t{v tambm  o produto `(3a+7`).`(a+9`) escrevemos:

 `(3a+7`).`(a+9`)=3a2+34a+63

  `(3a+7`).`(a+9`)  o produto do binmio `(3a+7`) pelo binmio `(a+9`).

<R+>
  Aplicando a propriedade distributiva da multiplicao em relao  adio.

 `(3a+7`).`(a+9`)=#c~a.`(a+9`)+7.
  .`(a+9`)=#c~a.a+#c~a.9+#g.a+
  +7.9=
 rea 1 -- #c~a.a 
 rea 2 -- #c~a.9
 rea 3 -- #g.a
 rea 4 -- #g.9
  =3a2+27a+7a+63=
  =3a2+34a+63
<P>
 Cada parcela dessa adio corresponde s reas de 1, 2, 3 e 4, respectivamente.

  Utilizando um esquema:

<F->
   R       3a+7   V
   !:::::::::::::::::: 
 a l   a.3a+7     _   
   r:::::::::::::::::::w 
   l                   _  
9 l   9.3a+7    _ 
   l                   _      
   l                   _    
   h:::::::::::::::::::j  
   S                 T
<F+>

 3a+7a+9=3a2+7a
 3a+7a+9=3a2+7a+27a+
  +63=3a2+34a+63

 Calculamos o produto de dois polinmios multiplicando cada termo de um deles por todos os termos do outro e reduzindo os termos semelhantes.
<R->
<P>
  Veja outros exemplos de clculo do produto de polinmios:

<R+>
 1) Determine o produto `(y-3`).`(y2+2y+6`).

 Usando a propriedade 
  distributiva:

 `(y-3`).`(y2+2y+6`)=y.`(y2+
  +2y+6`)-3.`(y2+2y+6`)=
  =y3+2y2+6y-3y2-6y-18=
  =y3-y2-18
 `(y-3`).`(y2+2y+6`)=y3-y2-18

 Por meio de um esquema:

<F->
        y2+2y+6
              y-3
:::::::::::::::::::
    -3y2-6y-18
+   y3+2y2+6y
:::::::::::::::::::
  y3-y2+0y-18
<F+>

<113>
<P>
 2) O volume de um bloco retangular  o produto das medidas de seu comprimento pelo de sua largura e de sua altura. Que polinmio poder representar o volume desse bloco retangular?

<F->
_`[{figura adaptada_`]
comprimento: 2x+9; 
largura: x-8;
altura: 5x-3.
<F+>
<R->

  O volume do bloco retangular poder ser representado pelo produto `(2x+9`).`(x-8`).`(5x-3`).

 comprimento  largura

<F->
            2x+9
             x-8
::::::::::::::::::
         -16x-72
+       2x2+9x
::::::::::::::::::
    2x2-7x-72
<P>
Multiplicamos pela altura

             2x2-7x-72
                    5x-3
:::::::::::::::::::::::::::
          -6x2+21x+216
+     10x3-35x2-360x
:::::::::::::::::::::::::::
 10x3-41x2-339x+216
<F+>

 `(2x+9`).`(x-8`).`(5x-3`)=
  =10x3-41x2-339x+216

  O volume desse bloco retangular pode ser representado pelo polinmio 10x3-41x2-339x+216.

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 36. Utilize os esquemas e calcule os produtos a seguir:
 a) `(x+3`).`(x+3`)
<P>
<F->
     x        3         
   !::::::::::::::::  
 x l   _             _   
   r:::w:::::::::::::w 
   l   _             _  
   l   _             _  
   l   _             _ 
3 l   _             _
   l   _             _    
   l   _             _    
   h:::j:::::::::::::j  
<F+>

 b) `(5a+1`).`(5a+2`)

<F->
          5a       1
    !::::::::::::::::::  
    l              _    _
    l              _    _ 
5al              _    _
    l              _    _ 
    l              _    _ 
    r::::::::::::::w::::w 
    l              _    _  
 2 l              _    _  
    l              _    _
    h::::::::::::::j::::j
<F+>
<P>
 c) `(y+4`).`(y2+3y`)

<F->
          y          4        
    !::::::::::::::::::  
y2l              _    _   
    r::::::::::::::w::::w 
    l              _    _  
    l              _    _  
    l              _    _ 
    l              _    _
3y l              _    _ 
    l              _    _
    l              _    _    
    l              _    _    
    h::::::::::::::j::::j 
<F+>

 37. Utilize o esquema dado e calcule o produto `(12x+30`).`(x~6+#,c`).
<P>
<F->
      12x        30
  !::::::::::::::::::  
  l              _    _
  l              _    _ 
  l   2x2     _    _ x~6
  l              _    _ 
  l              _    _ 
  r::::::::::::::w::::w 
  l              _    _  
  l   4x        _    _ #,c 
  l              _    _
  h::::::::::::::j::::j
	12x.x~6
<F+>

 38. Calcule os produtos a seguir. Se necessrio, desenhe figuras em seu caderno para auxili-lo.
 a) `(3x+2`).`(x+4`)
 b) `(x+#,c`).`(9x+15`)

 39. Calcule os produtos:
 a) `(x+2`).`(x2-2x+4`)
 b) `(-5x+2y+8`).`(3x2y-
  -12x2`)
<P>
 c) `(7y2+2y+2`).`(10y2+
  +4y-4`)

<114>
 40. Determine uma expresso algbrica que represente o volume deste bloco retangular.

_`[{figura adaptada_`]
 Bloco retngular: comprimento -- 18x3; largura -- #?ix+#,c; altura -- #,cx-2.
 
 41. Sabendo que P=9a2-3a, M=3a+1 e R=9a2+1, responda s questes.
 a) Qual  o polinmio P.M.R?
 b) Qual  o polinmio #;bg.`(P.M.R`)?

 42. Dados os polinmios A=x-1, B=x2+x e C=x, determine os polinmios:
 a) A.B
 b) B.C 
 c) A.A ou A2
 d) A.B-B.C+A.C
<P>
 43. Calcule os produtos dos polinmios e reduza seus termos semelhantes.
 a) a.`(2a+b+2`)+b.`(-a-b+12`)-
  -12.`(a+b-1`)
 b) `(3x-2`).`(2x+3`)-6x.`(x+1`)

 44. Se A=x.`(3x-1`) e B=`(x+5`).`(3x-2`), determine os polinmios a seguir:
 a) A-B
 b) -13.`(A-B`)

 45. Nesta figura a medida dos lados do quadrado  representada por a+4.

<F->
!:::::::
l       _
l       _ a+4
l       _
h:::::::j
<F+>
 
 Escreva um polinmio que represente a rea desse quadrado.
<R->
<P>
 Troque ideias e resolva

  No esquema a seguir, a rea do retngulo  representada pelo polinmio ac+ad+bc+bd e  o produto de dois binmios. Quais so esses binmios?

<F->
!::::::::::::::::::    
l  ac          _ ad _ 
r::::::::::::::w::::w 
l              _    _  
l   bc         _ bd _
l              _    _
h::::::::::::::j::::j
<F+>

 Diviso

 Diviso de polinmio por monmio

  O produto de um polinmio pelo monmio 2x  -2x3+4x2-10x.

 wr
  Que polinmio  esse?
<P>
_`[{a menina diz_`]
  "Voc tem uma soluo?"

_`[{o menino diz_`]
  "Para descobrir, posso dividir -2x3+4x2-10x por 2x!"

<115>
  Dividindo cada termo de -2x3+4x2-10x por 2x, temos:
 
 `(-2x3+4x2-10x`)2x=
  =?-2x3+4x2-10x*~2x=
  =-2x3~2x+4x2~2x-
  -10x~2x=-x2-2x-5 

  O polinmio que foi multiplicado por 2x  -x2+2x-5.

<R+>
 Dividimos um polinmio por um monmio, no nulo, dividindo cada termo desse polinmio por esse monmio.
<R->
<P>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 46. Que polinmio  o resultado da diviso de 36x6-12x5 por 6x2?
 47. O produto de um polinmio pelo monmio -#?h~a  -#?h~a3+#,?h~a2-#?af~a. Qual  esse polinmio?
 48. Determine o quociente da diviso de 81a5-21a2 por 3a2.

 49. O polinmio 2y3-5y2-
  -3y representa a rea do retngulo {m{n{p{q e o monmio 5y, a medida do lado ^c?{m{q*.

<F->
M   5y   Q
!:::::::::::
l           _
l           _
h:::::::::::j
N         P
<F+>

 a) Que polinmio representa a medida de ^c?{p{q*?
 b) Quais so as medidas dos lados do retngulo {m{n{p{q para y=5?
 c) Qual  a rea do retngulo {m{n{p{q para y=5?
 d) Qual  o valor numrico do polinmio 2y3-5y2-3y para y=5?
<R->

 Diviso de polinmio por 
  polinmio

  Observe como calcular o quociente e o resto da diviso do polinmio 5x2-3x-18 pelo polinmio x-2:

_`[{a professora diz_`]
  "5x2-3x-18  o dividendo e x-2  o divisor."

_`[{o menino diz_`]
  "Fazemos da mesma forma que para a diviso de nmeros?"

<116>
  Empregamos um esquema _`[no adaptado_`] semelhante ao utilizado para os nmeros. Veja:

<R+>
 Dividimos o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor.
 
 5x2x=5x

 Calculamos 5x.`(x-2`) e subtramos o resultado do dividendo ou adicionamos o oposto a ele.

 5x.`(x-2`)=5x2-10x
 oposto: -5x2+10x
 5x2-3x-5x2+10x=
  =0x2+7x-18

 Dividimos 7x por x.

 7xx=7

 Calculamos 7.`(x-2`) e adicionamos o oposto do resultado obtido a 7x-18.
<P>
 7.`(x-2`)=7x-14
 oposto: -7x+14
 7x-18-7x+14=0x-4 -- grau zero
<R->

  Efetuamos a diviso at que o grau do polinmio resto seja menor do que o grau do polinmio divisor.

_`[{a professora diz_`]
  "Resumindo..."

 dividendo: 5x2-3x-18
 divisor: x-2
 quociente: 5x+7
 resto: -4

  `(5x2-3x-18`)`(x-2`) tem quociente `(5x+7`) e resto -4.
  Quando efetuamos uma diviso de dois polinmios,  conveniente que eles estejam escritos na forma completa e na ordem decrescente dos expoentes dos monmios. Por 
<P>
 exemplo, para calcular `(24x2-10-28x`)`(-3x+2`), escrevemos o polinmio dividendo na forma ordenada: 24x2-28x-10.
<117>
  Veja outro exemplo:

_`[{a professora diz_`]
  "Qual o quociente e qual o resto desta diviso?"

 `(8a4-10a2+8a-6`)
  `(-2a2+a-1`)

_`[{a menina pensa_`]
  "...Hum, no h termo em a3.  um polinmio incompleto..."

  Nesse caso, completamos o polinmio dividendo acrescentando o termo 0a3.

<F->
8a4`(-2a2`)=-4a2
`(-4a2`).`(-2a2+a-1`) 
  :> oposto: -8a4+
  +4a3-4a2
<P>
`(8a4+0a3-10a2+8a-
  -6`)-8a4+4a3-4a2=
  =4a3-14a2+8a
4a3`(-2a2`)=-2a
`(-2a.`(-2a2+a-1`) 
  :> oposto: -4a3+2a2-
  -2a
`(4a3-14a2+8a`)-
  -4a3+2a2-2a=
  =-12a2+6a-6
`(-12a2`)`(-2a2`)=6
`(+6`).`(-2a2+a-1`)
  :> oposto: +12a2-6a+6
`(-12a2+6a-6`)+12a2-
  -6a+6=0
<F+>

  O quociente  -4a2-2a+6 e o resto, 0.
  Como o resto  zero, temos uma diviso exata, e dizemos que 8a4-10a2+8a-6  divisvel por -2a2+a-1.
<P>
 Relao entre a multiplicao 
  e a diviso

  Em geral, em uma diviso de polinmios podemos escrever uma relao entre multiplicao e diviso de polinmios: quociente  divisor + resto = dividendo.
  Exemplos:

<R+>
 `(5x2-3x-18`)`(x-2`)=5x+7 resto -4
 `(5x+7`) -- quociente
 `(x-2`) -- divisor
 `(-4`) -- resto
 `(5x+7`).`(x-2`)+`(-4`)=5x2-
  -3x-18 -- dividendo

 8a4-10a2+8a-6
  `(-2a2+a-1`)=-4a2-
  -2a+6 resto 0
 `(-4a2-2a+6`) -- quociente
 `(-2a2+a-1`) -- divisor
 `(-4a2-2a+6`).`(-2a2+
  +a-1`)=8a4-10a2+8a-
  -6 -- dividendo
<R->
<P>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 50. Calcule o quociente e o resto de `(24x2-28x-10`)`(-3x+
  +2`).
 51. Qual o quociente e qual o resto da diviso de 22x3-
  -6x4-12+35x por -x+4?

 52. Sabendo que os polinmios A=63x3-62x2+51x-20 e B=-9x+5, responda s questes:
 a) Qual  o quociente da diviso do polinmio A pelo polinmio B?
 b) Qual  o valor numrico desse quociente para x=-2?
 c) O polinmio A  divisvel pelo polinmio B? Por qu?

<118>
<P>
 53. A diviso de um polinmio P por `(-3x+1`)  exata e tem quociente igual a `(-9x2-3x+4`). Determine o polinmio P.
 54. O polinmio A  divisvel pelo polinmio B=-6x-2, e o quociente da diviso de A por B  `(x2-3x+1). Qual  o polinmio A?
 55. Calcule o quociente e o resto de `(-80y4-6y3+51y2-
  -15y-4)`(8y2+3y-5`).
 56. Dividindo um polinmio por `(-2x+9`), obtm-se quociente `(5x2-3x-6`) e resto 40. Qual  esse polinmio?

 57. O quociente da diviso de um polinmio B por `(8x-2`)  `(4x2+x`) e o resto  -5.
 a) Qual  o polinmio B?
 b) Qual  o polinmio -5.`(-6x-2`)-B?
<R->
<P> 
 Aprender + (mais)

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 58. Calcule:
 a) `(x3-#?fx2-x`)-
  -`(#cx3-#=cx2-#,ex`)
 b) `(-9x2+7xy`)-`(16y2-16xy+
  +20`)-`(-4x2+23xy+17`)
 c) `(7a2b-12ab2+6`)-
  -`(10a4+3a2b-
  -7ab2+26`)+`(9a4+
  +20+5ab2`)
 d) `(#:hx3-#exy+#;i`)+
  +`(#=aey3-#c-#,exy`)-
  -`(-#,i+#=hx3+#;aey3`)

 59. O polinmio 2x4+x3+4x-
  -32 representa a rea do retngulo {r{x{y{z e o polinmio 2x4+x-8, a medida do lado ^c?{x{y*.
<P>
<F->
R         Z
!:::::::::::
l           _
l           _
l           _
h:::::::::::j
X         Y
<F+>

 a) Que polinmio representa a medida do lado ^c?{z{y*?
 b) Que polinmio representa o permetro desse retngulo?
 c) Qual  a rea desse retngulo para x=4?
 d) Qual  o permetro desse retngulo para x=4?

 60. Multiplicando um polinmio por `(-5x+6`) e adicionando `(6x3+16x2-34x+10) ao resultado, obtm-se `(5x4-
  -4x2-2).
 a) Qual  esse polinmio?
 b) Qual  o valor numrico desse polinmio para x=0?
<R->
<P>
 Seo + (mais)

 Para testar seu raciocnio

  Encontre a resposta sem efetuar a diviso.

_`[{a menina diz_`]
  "Esta diviso est correta."

_`[{o professor diz_`]
  "Qual  o polinmio P? E o R?"

 `(-30x3+23x2+38x-28`)
  `(-6x+7`)=5x2+2x-4
 `(-30x3+23x2+38x-28`)
  `(5x2+2x-4`)=P resto R

<119>
 Leitura + (mais)

 lgebra e generalizaes

<R+>
_`[{dilogo entre dois alunos_`]
 O menino diz: "Pense em um nmero inteiro. Multiplique-o por 2."
 A menina pensa: "6..., Hum...12."
 O menino diz: "Agora adicione 1."
 A menina pensa: "D 13." 
 O menino diz: "Deu um nmero mpar, no ?"
 A menina fica espantanda. 
<r->

  O resultado ser sempre um nmero mpar?
  Experimente com outros nmeros inteiros.
  E, ento, como foi?
  Sempre um nmero mpar, no  mesmo?
  Por qu?
  Podemos entender o que ocorre com os nmeros nessa situao, construindo uma tabela.

<r+>
_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Nmero
 2 coluna: (Nmero).2+1
<P>
<F->
!::::::::::::::::::::::::::
l 0    _ 0.2+1 -- 1    _
r:::::::w:::::::::::::::::::w
l 1    _ 1.2+1 -- 3    _
r:::::::w:::::::::::::::::::w
l 2    _ 2.2+1 -- 5    _
r:::::::w:::::::::::::::::::w
l 3    _ 3.2+1 -- 7    _
r:::::::w:::::::::::::::::::w
l 10   _ 10.2+1 -- 21  _
r:::::::w:::::::::::::::::::w
l 23   _ 23.2+1 -- 47  _
r:::::::w:::::::::::::::::::w
l 100  _ 100.#b+1 -- 201_
h:::::::j:::::::::::::::::::j
<F+>
<R->

  Os nmeros 1, 3, 5, 7, ... so nmeros mpares.
  Quando multiplicamos um nmero inteiro por 2, o resultado  sempre um nmero par, ou seja, 2n, com *n* inteiro representando um nmero par. Se adicionarmos a esse resultado 1 unidade, obteremos sempre um nmero mpar.
<P>
  Portanto, a expresso 2n+1 representa um nmero mpar quando *n*  um nmero inteiro.
  Observe esta outra tabela:

<R+>
_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Nmero
 2 coluna: '''

<F->
!::::::::::::
l 0    _ 2  _
r:::::::w:::::w
l 1    _ 3  _
r:::::::w:::::w
l 2    _ 5  _
r:::::::w:::::w
l 3    _ 7  _
r:::::::w:::::w
l 4    _ 11 _
r:::::::w:::::w
l 5    _ 13 _
h:::::::j:::::j
<F+>
<R->

  A sequncia 2, 3, 5, 7, ...  formada por nmeros primos. 
<P> 
 Descobrir uma expresso que resultasse nessa sequncia foi um desafio para muitos matemticos.
  Em 1772, o matemtico Leonard Euler (1707-1783) afirmou que o polinmio n2-n+41 fornecia apenas nmeros primos quando *n* fosse um nmero inteiro. No entanto, descobriu-se mais tarde que essa frmula no valia para n=41.

_`[{o menino diz_`]
  "Voc se lembra? Um nmero primo possui s dois divisores."

<120>
  Veja alguns exemplos:

<R+>
 para n=0 -- 02-0+41=0-
  -0+41=41 --  um nmero primo.
 para n=7 -- 72-7+41=49-7+
  +41=83 --  um nmero primo.
 para n=41 -- 412-41+41=
  =1.681-41+41=1.681 --  divisvel por 41.
<R->
<P>
  Em 1879, E. B. Escott divulgou esta frmula: 

n2-79+1.601

  O valor numrico desse trinmio  um nmero primo para *n* igual a 0, 1, 2, 3, ..., 79. Porm essa frmula no vale para n=80. Veja:

<R+>
 802-79.80+1.601=6.400-
  -6.320+1.601=1.681 --  divisvel por 41.
<R->

 Reviso cumulativa e testes

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 1. Escreva um nmero racional e um nmero irracional, usando somente os algarismos 1 e 7.
 2. A figura a seguir representa o esboo de uma escada.
<P>
<F->

l
l 
l   
l    5 m
l    
l     
l      
v-------u
  4 m
<F+>

 Se a altura de cada degrau  15 cm, qual  o nmero de degraus dessa escada?

_`[{para as atividades 3 e 4, pea orientao ao professor_`]

 3. O permetro do quadrado representado _`[no adaptado_`]  42 cm. Qual  o comprimento aproximado da circunferncia de centro O?
<P>
 4. Na figura _`[no adaptada_`], 5x representa a medida de ^c?{b{c* e 4x2, a medida da altura relativa a ^c?{b{c*.
 a) Que monmio representa a rea desse tringulo?
 b) Qual  o valor numrico desse monmio para x=0,2?
 c) Qual  a rea do tringulo {a{b{c para x=0,2?

 5. Qual  o valor numrico da expresso b2-4.a.c para a=-2, b=5 e c=3?
 6. O permetro do retngulo {a{b{c{d indicado a seguir mede 40 cm. 

<F->
A    a   D
!::::::::::
l          _
l          _ b
l          _
h::::::::::j
B        C
<F+>
<P>
 Qual expresso algbrica, na varivel *b*, representa a rea desse retngulo?

 7. Qual  o grau do polinmio que  a diferena entre 7a3+4a2-9 e 9a2-
  -6?
 8. Se A=5y2-3y+3; B=-3y2-8y+3; C=4y2-
  -13 e D=6y2-7y+9, calcule: `(A-C`)-`(B-D`).
 9. Qual  o produto de 2x3y por x2+y?

 10. Considere M=x2-xy+y2 e N=x+y.
 a) Calcule o produto M.N.
 b) Quantos termos tem o polinmio que  o resultado dessa multiplicao?

 11. Qual  o quociente entre o polinmio 6a3bc-
  -4a2b2c+34abc e monmio 2ab?
<P>
 12. Mostre que o resto da diviso de y4-5y3+9y2-7y+2 por y2-3y+2  o polinmio nulo.
 13. A rea de um retngulo  representada pelo polinmio 6t3-17t2+22t-15 e o comprimento, pelo polinmio 3t2-4t+5. Determine o polinmio que representa a largura desse retngulo.

<121> 
 14. O jardim de Joo  retangular de dimenses *x* e *y*. Ele pretende aumentar em 3 metros seu comprimento *x* e cerc-lo em toda a volta.
<R->

_`[{joo pensa_`]
  "...Um jardim maior seria mais agradvel..."

_`[{joo diz_`]
  "Aumento o comprimento em 3 metros."
<P>
<R+>
 a) Qual ser o permetro do novo jardim?
 b) Qual ser a rea do novo jardim?

 15. A letra *n* representa um nmero inteiro e 9n=111111111. A soma dos algarismos de *n* :
 a) 45 
 b) 37 
 c) 18 
 d) 9

 16. Na figura a seguir a rea de cada quadrado  igual a a2.b4. 

<F->
!:
r:w  !::
r:w::r:w:j 
h:j::h:j
<F+>

 A rea total da figura :
 a) 7a2b4 
 b) 10a2b4 
 c) 7ab 
 d) 10ab

 17. Neste paraleleppedo _`[no adaptado_`], a letra *m* representa um nmero real positivo. O polinmio que pode representar o volume desse paraleleppedo :
 a) 6m 
 b) 9m 
 c) m3 
 d) 2m3

 18. (Fuvest-SP) Se A=`(x-y`)~xy, x=#;e e y=#,b, ento A  igual a:
 a) -0,1  
 b) 0,2 
 c) -0,3
 d) 0,4
 e) -0,5

 19. (Prova Brasil) Uma prefeitura aplicou R$850 mil na construo de 3 creches e um parque infantil. O custo de cada creche foi de R$250 mil. A expresso que representa o custo do parque, em mil reais, :
<P>
 a) x+850=250 
 b) x-850=750 
 c) 850=x+250
 d) 850=x+750

 20. O valor numrico da expresso j=?c.i.t*~100, para c=3.000, t=4 e i=5, :
 a) 200 
 b) 300  
 c) 600 
 d) 800

 21. Se A=x3-1; B=2x3-x2+x-2 e C=-3x3+x2-5, o resultado de A+B+C  um polinmio de grau:
 a) 3 
 b) 2 
 c) 1 
 d) 0

 22. Se A=2a-1 e B=6a2-15a+2, ento 2A-B~3  igual a:
<P>
 a) -2a2+9a-#"c
 b) 2a2-5a
 c) 6a2-13a+1
 d) 2a2-5a+#;c

 23. O resto da diviso de 5z4-2z+1 por z-2 :
 a) 100 
 b) 77 
 c) 14 
 d) 0

 24. (Enem) Um dos aspectos utilizados para avaliar a posio ocupada pela mulher na sociedade  a sua participao no mercado de trabalho. O grfico mostra a evoluo da presena de homens e mulheres no mercado de trabalho entre os anos de 1940 e 2000.

<F->
_`[{grfico adaptado_`]
:> Homens
1940 -- 80%
1950 -- pouco acima de 80%
1960 -- 80%
1970 -- pouco abaixo de 80%
1980 -- 70%
1990 -- pouco acima de 60%
2000 -- 60%

:> Mulheres
1940 -- 20%
1950 -- pouco abaixo de 20%
1960 -- 20%
1970 -- pouco acima de 20%
1980 -- 30%
1990 -- pouco abaixo de 40%
2000 -- 40%
<F+>

 Fonte: IBGE. *Anurios Estatsticos do Brasil*.

 Da leitura do grfico, pode-se afirmar que a participao percentual do trabalho feminino no Brasil:

 a) teve valor mximo em 1950, o que no ocorreu com a participao masculina.
 b) apresentou, tanto quanto a masculina, menor crescimento nas trs ltimas dcadas.
<P>
 c) apresentou o mesmo crescimento que a participao masculina no perodo de 1960 a 1980.
 d) teve valor mnimo em 1940, enquanto a participao masculina teve o menor valor em 1950.
 e) apresentou-se crescente desde 1950 e, se mantida a tendncia, alcanar, a curto prazo, a participao masculina.
<R->

               oooooooooooo

<122>
<P>
Unidade 5

 Simetria, movimentos e padres 
  em Geometria

<R+>
_`[{o contedo desta unidade, bem como as atividades propostas, so predominantemente visuais. Para melhor aproveitamento, pea orientao ao professor_`]

_`[{trs fotos seguidas por legendas_`]
 Legenda 1: A natureza est repleta de elementos que exemplificam simetria. Essa borboleta, por exemplo, apresenta uma simetria quase perfeita.
 Legenda 2: A fotografia da anmona, um invertebrado que vive no mar, mostra como seus tentculos formam uma simetria que se irradia em volta do corpo.
 Legenda 3: Existe simetria na pintura feita no rosto da moa.

<123>
<P>
_`[{duas fotos seguidas por legenda_`]
 Legenda: Observe, nessas imagens, como a repetio de um padro segundo alguns movimentos produz uma composio harmoniosa e um belo resultado artstico.
<R->

  A simetria passou a ser um elemento fundamental em vrios momentos da cultura humana. A arte popular, por exemplo, torna-se mais rica quando a simetria se une aos movimentos das figuras geomtricas e aos padres geomtricos.  quando podemos observar uma aplicao perfeita da Matemtica s Artes.
  O movimento de figuras geomtricas em torno de pontos e retas gera propriedades importantes para o estudo dessas figuras e tem aplicaes na prtica. Vamos conhecer esses movimentos, analisar padres e saber como eles so aplicados no dia a dia.
<P>
<R+>
  Pesquise e recorte de jornais e revistas figuras que apresentem simetria e cole em seu caderno.
  Em que situaes voc encontra repetio de padres como foram mostradas nessas pginas?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<124>
 1 -- Simetria 

 Simetria axial

  Voc se lembra do *kirigami*?
  Em um kirigami obtm-se figuras dobrando e recortando folhas de papel.

 kiri = cortar
 gami = papel
<P>
  Faa um kirigami!
  Comece dobrando trs vezes um papel de forma quadrada. Crie uma figura qualquer e desenhe-a junto  ltima dobra. Recorte pelas linhas e abra o papel.

<R+>
 wr
  A figura obtida  simtrica? Se a resposta for afirmativa, desenhe os eixos de simetria. Quantos eixos de simetria existem?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  A figura _`[no adaptada_`] mostra o que se obtm com a dobradura anterior. Essa figura tem quatro eixos de simetria, representados pelas linhas traadas em vermelho.

<125>
<R+>
 wr
  Copie o desenho a seguir em uma folha quadriculada e, depois, complete-o desenhando o simtrico dessa figura em relao ao eixo *r*.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Seu desenho deve ter ficado parecido com este _`[no adaptado_`]:
  Observe novamente a figura obtida por kirigami e um de seus eixos de simetria.
  Imagine um espelho colocado perpendicularmente  folha de papel sobre o eixo de simetria. Cada uma das partes da figura, dividida pelo eixo de simetria,  imagem da outra em relao a esse espelho.

<R+>
 wr
  Observe a reta {a{b. Qual  a posio de ~:,?{a{b* em relao ao eixo de simetria?
<P>
  O que ocorre com os segmentos de reta {a{p e {b{p?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Na figura _`[no adaptada_`], os pontos A e B so simtricos em relao ao eixo *e*.

<126>
 Distncia de um ponto a uma reta

  Na figura _`[no adaptada_`] a seguir os tringulos {a{b{c e {s{r{p so simtricos em relao ao eixo *r*. Observe os pontos A, P, X e Z.

_`[{o menino diz_`]
  "As retas ~:,?{a{p* e *r* so perpendiculares."

_`[{o professor diz_`]
  "med ^c?{a{x*  med ^c?{a{z*"
<P>
  A medida de ^c?{a{x*  menor que a medida de qualquer outro segmento de reta com uma das extremidades em A e a outra em um ponto da reta *r*.
  Dizemos que:

<R+>
 A distncia do ponto A  reta *r*  a medida do segmento de reta {a{x, ou seja,  a medida do segmento de reta contido na reta perpendicular a *r*, que passa por A e com extremidades A e X.
<R->

  Observe que a distncia do ponto A  reta *r*  igual  distncia do ponto P  reta *r*. Os pontos A e P so simtricos em relao a *r*.

 Desenhando figuras simtricas

  Vamos, ento, saber como desenhar uma figura simtrica a outra em relao a um eixo de simetria.
<P>
  Primeiro destacamos os pontos principais da figura. Em seguida, por esses pontos, traamos retas perpendiculares ao eixo de simetria *e*. No caso do quadriltero _`[no adaptado_`], destacamos os vrtices.

<R+>
 O ponto simtrico a M  marcado na reta *s*  mesma distncia que A est de *e*. Para isso, utilizamos um compasso: med ^c?{a{p* = med ^c?{m{p*.
 Repetimos o procedimento para os demais vrtices e obtemos {m{n{p{r. {m{n{p{r  simtrico a {a{b{c{d em relao a *e*.
<R->

<127>
  Esse tipo de simetria  uma simetria axial ou de reflexo sobre uma reta.
  Nessa figura, se fizermos uma dobra sobre a reta *e*, um dos polgonos ficar sobreposto ao outro, ou seja, as duas figuras sero coincidentes. Isso significa que em uma simetria axial uma figura e a figura simtrica a ela tm lados correspondentes com medidas iguais e ngulos correspondentes com medidas iguais. Elas so figuras congruentes.

 Simetria central

  Vamos conhecer outro tipo de simetria.
  Desenhe em seu caderno um tringulo qualquer e um ponto O como mostra a figura _`[no adaptada_`].
  Nela, B e M so pontos correspondentes e ^c?{b{o* e ^c?{m{o* tm medidas iguais. Em seguida, destaque o ponto P, correspondente a A, na reta ^c?{a{o*, de modo que ^c?{p{o* e ^c?{a{o* tenham medidas iguais. Faa o mesmo com o ponto C.

<R+>
 wr
  O que ocorre com o tringulo que voc obteve?
<P>
 Tringulo {a{b{c e tringulo {p{m{n so simtricos em relao ao ponto O.
<R->

  Chamamos esse tipo de simetria de simetria central.

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
_`[{para as atividades de 1 a 7, pea orientao ao professor_`]

 1. Com uma rgua, determine a distncia de cada um desses pontos  reta *s*.
<R->

_`[{o professor diz_`]
  "Mea em centmetros."

<R+>
  Quais desses pontos so simtricos em relao  reta *s*?
<R->

<128>
<P>
<R+>
 2. Anote o tipo de simetria que h em cada situao:
 a) _`[Figuras no adaptadas_`] 

 3. Entre os pares de figuras 
  _`[no adaptadas_`], quais so simtricas?

 4. Copie este desenho _`[no adaptado_`] em papel quadriculado e faa o que se pede.
 a) Construa a figura geomtrica simtrica a essa em relao ao eixo *m*.
 b) Na figura que voc obteve, chame de C o ponto correspondente a B. Qual  a distncia, em centmetros, do ponto B  reta *m*? E a do ponto C  reta *m*?
 c) Essas distncias so iguais ou diferentes?
 d) B e C so pontos simtricos em relao  reta *m*. Eles esto  mesma distncia em relao a *m*?

 5. Copie este pentgono _`[no adaptado_`] em papel quadriculado e faa o que se pede.
 a) Construa a figura geomtrica simtrica a essa em relao ao eixo *y*.
 b) Identifique um par de pontos simtricos em relao ao eixo *y*.

 6. Desenhe polgonos parecidos com estes _`[no adaptados_`]. Trace as retas *r*, *s* e *t* em posio semelhante s da figura. Em seguida, complete-os desenhando as figuras simtricas em cada situao em relao  reta.
<129> 
 7. Desenhe polgonos parecidos com estes _`[no adaptados_`]. Marque os pontos P e O em posio semelhante s da figura. Em seguida, complete-os desenhando figuras simtricas em relao ao ponto em cada situao.
<P>
 8. Os tringulos {a{b{h e {a{c{h so simtricos em relao ao eixo ^c?{a{h*.

<F->
        _
        _
      Ao            
       _ 
       _  
       _   
       _    
       _     
       _      
 ------o------
 B     H     C
<F+>

 Responda s questes a seguir.
 a) Os lados e os ngulos correspondentes nesses dois tringulos so congruentes?
 b) Qual  o lado congruente ^c?{a{b* no tringulo {a{c{h?
 c) Qual  o ngulo congruente a :?{a{b{h* no tringulo {a{c{h?
<R->
<P>
 Troque ideias e resolva

  Neste desenho temos um segmento de reta {p{r e uma reta *a*.

<F->
            la
            l
            oN    
            l 
            lM 
P ---------o---------- R
            l 
            l 
            l
            l
            l   
<F+>

<R+>
  O que  a reta *a* em relao ao segmento de reta {p{r?
  Considerando a reta *a*, que relao existe entre os pontos P e R?
  A distncia de N a P  igual  distncia de N a R?
  Copie esse desenho em seu caderno e marque outros pontos na reta *a*. O que voc pode concluir sobre as distncias de qualquer um desses pontos s extremidades P e R do segmento de reta {p{r?
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<130>
 2 -- Movimentos em Geometria

 Padres geomtricos

  Criar um padro e repeti-lo  um processo conhecido e praticado pelos povos desde tempos remotos: assrios, chineses, babilnios, gregos, egpcios, indgenas e outros.

<R+>
_`[{duas fotos no adaptadas seguidas por legenda_`]
 Legenda: Muitos artesos e artistas procuram criar um padro simples que possa ser repetido de tal forma que o resultado final seja harmonioso e belo.
<P>

_`[{quatro fotos no adaptadas seguidas por legendas_`]
 Legenda 1: Cestas feitas por indgenas. As fibras coloridas formam padres que compem desenhos geomtricos.
 Legenda 2: Padres geomtricos usados por vrias tribos caracterizam a arte cermica indgena.
 Legenda 3: Tringulos formam um padro nesta imagem grfica.
 Legenda 4: Atualmente, o ser humano consegue programar uma sequncia de nmeros no computador e produzir padres para vrias finalidades, como mostra esta fotografia.
<R->

<131>
 Movimentos

  Com gravuras como *Dia e noite*, Escher surpreendeu o mundo e, em particular, os matemticos, com sua obra apoiada em conceitos geomtricos.
<p>
<R+>
_`[{foto seguida por legenda_`]
 Legenda: Escher. Evergreen, 1991. Escher, *Dia e noite*, fev. de 1938.

 Fonte: Bruno Ernst. *O espelho mgico* de M. C.
<R->

_`[{o menino diz_`]
  "Vamos observar novamente a obra *Dia e noite*."

_`[{a menina diz_`]
  "Fixe seu olhar nos pssaros brancos..."

_`[{outro menino diz_`]
  "Mas, se voc olhar os pssaros pretos..."

  Nessa obra, os campos lavrados, com sua forma geomtrica, elevam-se em direo ao cu e transformam-se, aos poucos, em pssaros brancos e em pssaros pretos.
<P>
  ...eles voam para a direita, em direo  noite que recobre uma pequena aldeia  beira de um rio. 
  ...poder v-los sobrevoando uma paisagem iluminada de sol que , exatamente, a imagem refletida da paisagem noturna.

 O movimento de reflexo

  Para decorar a barra de um pano de prato, Joana repetiu este padro _`[no adaptado_`].
  Ela utilizou a reta *r* como um eixo de simetria.

<R+>
 wr
  Providencie uma tira de papel quadriculado com 25 cm de comprimento. Em seguida, reproduza esse padro nessa tira e complete-a mostrando como ficou a barra decorativa de Joana.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<132>
  Em seu trabalho Joana utilizou uma simetria axial considerando a reta *r* como eixo de simetria. Observe uma parte da barra decorativa _`[no adaptada_`].

<R+>
 A figura simtrica foi obtida por uma reflexo sobre a reta *r*.
<R->

 O movimento de translao

  Um desenhista de cermicas projetou o ladrilho _`[no adaptado_`].
  Para ter uma ideia de como ficar o ladrilhamento, ele desenhou outra figura da seguinte forma:
<R+>
  deslocou o ponto A para a direita 6 unidades at obter o ponto M;
  tambm deslocou o ponto B para a direita 6 unidades at obter o ponto N;
  repetiu essa ao para os outros pontos do ladrilho vrias vezes, obtendo esta figura _`[no adaptada_`].

 wr
  Que tipo de movimento o desenhista usou em seu desenho?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Nessa situao foi aplicada uma translao sobre a figura dada.

_`[{o menino diz_`]
  "Escolhi uma direo e um sentido e movimentei todos os pontos!"

_`[{a menina diz_`]
  "A distncia entre um ponto e seu correspondente, obtido aps o deslocamento,  sempre a mesma."

<133>
  Vamos conferir?

<R+>
 A e M so pontos correspondentes -- med ^c?{a{m*=6u
 B e N so pontos correspondentes med ^c?{b{n*=6u
<P>
 C e P so pontos correspondentes med ^c?{c{p*=6u
<R->

  Alm disso, as retas ~:,?{a{m*, ~:,?{b{n* e ~:,?{c{p* so paralelas e tm o mesmo sentido escolhido para deslocar o desenho inicial.
  Cada ponto do ladrilho foi deslocado 6 unidades para a direita, na direo da reta ^c?{a{m*.

 O movimento de rotao

  Jlio desenhou esta figura 
 _`[no adaptada_`] e na mesma folha marcou um ponto A.
  Aplicou um giro de 80 na figura, no sentido do movimento dos ponteiros de um relgio (sentido horrio) e em torno do ponto A.

<R+>
 wr
  Em que posio ficou a figura? Desenhe-a em seu caderno nas posies inicial e final. Compare as duas figuras e tire concluses sobre o giro realizado.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Vamos marcar na figura inicial trs pontos: M, N e P.

<R+>
 Unimos o ponto M a A e, com um transferidor, traamos um ngulo de 80.
 Com a ponta-seca do compasso em A e abertura ^c?{a{m*, traamos um arco de circunferncia. Esse arco cruza o outro lado do ngulo no ponto B.
 O ponto B  o correspondente de M, nesse giro.
 Para o ponto N, marcado sobre a figura, repetimos todas as aes j descritas para o ponto M. Nesse caso, fica determinado o ponto C, que  o correspondente de N nesse giro.
<P>
 Repetimos para o ponto P o que foi feito com os pontos M e N. Obtemos a figura na posio final.
<R->

<134>
  Podemos observar que cada ponto do tringulo {m{n{p girou 80 em torno do ponto A, no sentido horrio e mantendo sempre a mesma distncia em relao a esse ponto.

<R+>
 med :?{m{a{b*=80
 med ^c?{a{m* = med ^c?{a{b*  
 M e B so pontos correspondentes.

 med :?{n{a{c*=80
 med ^c?{a{n* = med ^c?{a{c*  
 N e C so pontos correspondentes.

 med :?{p{a{d*=80
 med ^c?{a{p* = med ^c?{a{d*  
 P e D so pontos correspondentes.
<R->
<P>
  Em Geometria, dizemos que sobre o desenho inicial foi aplicada uma rotao de 80 no sentido horrio e em torno do ponto A. Esse ponto  o centro de rotao.
  Resumindo:

 Translao

  A translao de uma figura no plano envolve o deslocamento de todos os seus pontos de uma igual distncia, em uma mesma direo e um mesmo sentido.
  Esta figura _`[no adaptada_`] do pssaro foi transladada da posio A para a B no plano.

 Reflexo
 
  Em uma reflexo, para cada ponto da figura original  associado seu simtrico em relao a uma reta do plano. Chamamos a reta de eixo de reflexo ou eixo de simetria.
<P>
  Abaixo, o pssaro na posio B  a imagem refletida do pssaro na posio A, em relao ao eixo de reflexo.

 Rotao

  Uma rotao envolve o giro de uma figura no plano, em um determinado ngulo e sentido, em torno de um ponto dado, chamado de centro de rotao.
  Na figura _`[no adaptada_`], ao pssaro na posio A foi aplicada uma rotao de a at a posio B.
  Note que em qualquer um desses movimentos obtm-se figuras congruentes  figura inicial.

<135>
<P>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 9. Uma figura foi movimentada segundo uma translao. Como so as retas que passam pelos pontos da figura inicial e por seus correspondentes na figura obtida?
 10. Uma figura foi movimentada segundo uma translao. O que ocorre com as distncias entre os pontos da figura inicial e seus correspondentes na figura obtida?

_`[{para as atividades de 11 a 20, pea orientao ao professor_`]

 11. Neste desenho _`[no adaptado_`], {d{o{t{i foi obtido a partir de {c{e{l{a por meio de um movimento. Que movimento foi esse?
<P>
 12. Observe os resultados obtidos por meio de um movimento aplicado a uma das figuras _`[no adaptadas_`]. Identifique o movimento utilizado em cada caso.
 13. A figura _`[no adaptada_`] foi obtida por meio de uma combinao de dois movimentos. Quais foram esses movimentos?
 14. Faa um desenho como este _`[no adaptado_`]. A partir dele, obtenha outro, realizando um movimento de translao.

 Utilize papel quadriculado.

<136>
 15. Faa um desenho como este _`[no adaptado_`]. A partir dele, obtenha outro, realizando um movimento de reflexo em relao ao eixo *p*. A figura obtida  simtrica em relao  figura inicial?

 Utilize papel quadriculado.
<P>
 16. Em uma folha de papel quadriculado, faa um desenho como este _`[no adaptado_`]. A partir dele, obtenha outro, realizando um movimento de translao de modo que as distncias entre os pontos correspondentes sejam iguais a 5 unidades. A direo e o sentido esto indicados pela seta vermelha.
 17. Faa um desenho como este _`[no adaptado_`]. A partir dele, obtenha outro, realizando um movimento de translao de modo que as distncias entre os pontos correspondentes sejam iguais a 4 cm. A direo e o sentido esto indicados pela seta vermelha.
 18. Faa um desenho como este _`[no adaptado_`] em uma folha de papel quadriculado. A partir dele, obtenha outro, realizando um movimento de reflexo em relao ao eixo *e*.
<P>
 19. Faa um desenho como este _`[no adaptado_`] em uma folha de papel quadriculado. A partir dele, obtenha outro, realizando um movimento de rotao de um quarto de volta, no sentido contrrio ao dos ponteiros do relgio (sentido anti-horrio) e ao redor do ponto A.
 20. Copie este desenho _`[no adaptado_`]. Ao redor do ponto O, realize uma rotao da figura de um ngulo de 60, no sentido horrio.
<R->

<137>
Seo + (mais)

 Movimentos e figuras geomtricas 
  produzindo arte

  O padro _`[no adaptado_`] foi desenhado em um tringulo equiltero. Observe-o atentamente e procure desenhar outro parecido em uma folha de papel.
<P>
  Primeiro, veja como construir um tringulo equiltero com lados de medida 3 cm, por exemplo. O problema estar resolvido quando determinarmos os trs vrtices desse tringulo.
  Traamos um segmento de reta {p{r de 3 cm. Desenhamos dois arcos de circunferncia com raios de 3 cm: um deles com centro em P e o outro, em R.
  O cruzamento desses dois arcos  o terceiro vrtice do tringulo.
  Partindo do padro anterior, foi obtido este desenho:
<R+>
  Qual foi o movimento realizado para obter esse resultado?
  Faa em uma folha de papel maior um desenho parecido com esse. Aplicando alguns movimentos no novo padro foi recoberta uma parte do plano _`[no adaptado_`]. Observe como ficou:
  Que tal criar outros padres, combinar outros movimentos e obter obras de arte diferentes? 
<P>
 Junte-se com os colegas e mos  obra!
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<138>
 3 -- Movimentos e propriedades 
  geomtricas

  Os movimentos que conhecemos transformam uma figura em outra mantendo as caractersticas da figura inicial, com exceo da posio.
  Vamos aprender mais sobre eles.
  Joo e Pedro receberam figuras iguais desenhadas em uma folha de papel.
  A professora Ana pediu-lhes que obtivessem outra figura a partir dessa, escolhendo um movimento qualquer.
<P>
  A partir do desenho _`[no adaptado_`], Joo obteve outro, realizando uma translao com deslocamento de 2,5 cm. A direo e o sentido esto indicados pela seta vermelha.
  Pedro, por sua vez, realizou uma rotao do tringulo {l{u{a de um ngulo de 100, ao redor do ponto O, no sentido horrio. Obteve um desenho como este _`[no adaptado_`]:

<R+>
 wr
  Observe cada desenho na nova posio e explique o que aconteceu com sua forma, as dimenses dos lados e as medidas dos ngulos.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<139>
  Partindo do mesmo desenho inicial de Joo, Lusa obteve outro _`[no adaptado_`]. Ela realizou 
<P>
uma reflexo em relao ao eixo *e*.

<R+>
 wr
  Observe o desenho na nova posio e explique o que aconteceu com sua forma, as dimenses dos lados e as medidas dos ngulos.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Vamos analisar os resultados dos trs alunos, copiando o tringulo {l{u{a em uma folha de papel transparente e sobrepondo-o aos tringulos obtidos.

<R+>
_`[{figuras no adaptadas_`]
<R->

<140>
  Sobrepondo o tringulo que est na folha transparente aos tringulos obtidos nas trs situaes, observamos que:
<P>
<R+>
  os lados dos tringulos obtidos tm medidas iguais s dos lados correspondentes do tringulo {l{u{a. Ou seja, os lados correspondentes so congruentes;
  os ngulos dos tringulos obtidos tm medidas iguais s dos ngulos correspondentes do tringulo {l{u{a.
<R->
  Note que dois segmentos de reta so congruentes quando tm medidas iguais.
  Os tringulos {l{u{a e {m{i{r, {l{u{a e {s{p{o e {l{u{a e {s{p{m tm:
<R+>
  os trs lados correspondentes congruentes;
  os trs ngulos correspondentes congruentes.

 Indica-se ^c?{a{l* congruente a ^c?{o{s* por ^c?{a{l*==^c?{o{s*.

 O tringulo {l{u{a  congruente ao tringulo {m{i{r. {l{u{a=={m{i{r
<P>
 O tringulo {l{u{a  congruente ao tringulo {s{p{o. {l{u{a=={s{p{o
 O tringulo {l{u{a  congruente ao tringulo {s{p{m. {l{u{a=={s{p{m
<R->

  Observe outro exemplo _`[no adaptado_`], no qual temos o paralelogramo {f{e{r{a. Vamos realizar dois movimentos: um de reflexo e outro de rotao de 75 no sentido horrio.

<R+>
 O eixo de reflexo  *m*.
 {f{e{r{a girou 75 em torno do ponto G.
<R->

_`[{o menino diz_`]
  "O e E so os mesmos pontos... ...T e R tambm."

<141>
  Comparando os lados do paralelogramo dado com os lados correspondentes dos paralelogramos obti-
<P>
dos, verificamos que eles tm medidas iguais.

_`[{a menina diz_`]
  "Podemos verificar sobrepondo os paralelogramos."

  Comparando os ngulos do paralelogramo dado com os ngulos correspondentes dos paralelogramos obtidos, verificamos que eles tm medidas iguais.
  Os paralelogramos {f{e{r{a e {c{o{t{i, {f{e{r{a e {s{u{l{m tm:
<R+>
  os quatro lados correspondentes congruentes;
  os quatro ngulos correspondentes congruentes.
<R->

<R+>
 O paralelogramo {f{e{r{a  congruente ao paralelogramo {c{o{t{i.
 O paralelogramo {f{e{r{a  congruente ao paralelogramo {s{u{l{m.
<R->
<P>
  Translaes, reflexes e rotaes transformam uma figura em outra congruente  figura inicial.
 
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 21. Um tringulo {a{b{c foi obtido a partir de um tringulo {m{n{p por uma translao. O que ocorre com os tringulos {a{b{c e {m{n{p?
 22. Explique com suas palavras o que voc entende quando dizemos: "Dois tringulos so congruentes".
 23. Em quais condies dois quadrilteros so congruentes?

_`[{para as atividades de 24 a 27, pea orientao ao professor_`]
<P>
 24. Nesta figura _`[no adaptada_`], o tringulo {c{e{m  simtrico ao tringulo {a{p{m em relao ao eixo *x*.
 a) Identifique dois ngulos, um em {c{e{m e outro em {a{p{m, que sejam congruentes.
 b) Identifique dois lados de {c{e{m que sejam congruentes a dois lados de {a{p{m.

 25. Desenhe uma reta *p* e um tringulo parecidos com estes:

<F->
    B         A
    eccccccccci
        _    
        _   
        _  i  
        _ 
         
cccccccccocccccccccccc p
         C
<F+>

 a) Utilize um dos movimentos que voc conhece para obter um tringulo congruente a esse.
<P>
 b) Qual foi o movimento que voc escolheu? Descreva-o.
 c) Identifique um par de lados e um par de ngulos congruentes nos tringulos que voc desenhou.

<142>
 26. Nesta figura, o losango {m{p{r{s foi obtido a partir do losango {a{b{c{d e os vrtices so correspondentes, nessa ordem.

<F-> 
 B          A       
 cccccccccccc
              
               
                
     ------------ 
     C          D
<P>
 P          M       
 cccccccccccc
              
               
                
     ------------ 
      R         S   
<F+>

 a) Identifique o movimento realizado para obter o losango {m{p{r{s.
 b) O ngulo :?{a{b{c* mede 60. Identifique o ngulo que mede 60 no losango {m{p{r{s.

 27. Agora  voc quem escolhe!
 a) Desenhe em uma folha de papel uma figura geomtrica qualquer.
 b) Escolha um dos seguintes movimentos: translao, reflexo ou rotao.
 c) Obtenha uma figura que seja congruente  que voc desenhou, realizando o movimento escolhido.
<R->
<P>
 Troque ideias e resolva

  Nesta figura, voc tem os desenhos _`[no adaptados_`] dos ngulos :?{x{o{y* e :?{x{p{r*. Um deles foi obtido a partir do outro por meio de uma translao.

<F->
                     
             X
                    
              
          O     Y  
 r ::::::::::::::o:::::
        P 50  R 
 s ::::::::::::::o:::::
                 
       
                   
    t               
<F+>

<R+>
  Se :?{x{p{r* mede 50, ento qual  a medida de :?{x{o{y? Copie a figura dada em seu caderno e complete-a traando as retas suportes desses ngulos.
<P>
  As retas ~:,?{o{y* e ~:,?{p{r* so paralelas entre si? Chame as retas paralelas de *r* e *s*. Chame a terceira reta de *t*.
  Qual  a medida do ngulo suplementar a :?{x{o{y*?
  Na figura que voc construiu h um ngulo com a mesma medida desse ngulo suplementar. Identifique-o.
  Identifique outros dois pares de ngulos congruentes nessa figura.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
 28. Nesta figura *a* e *b* so retas paralelas e *x* representa uma medida em graus. Qual  o valor de *x*?
<P>
<F->
      
       
         3x+15
 a::::::::::::::::::
            
            135
 b:::::::::::::::::::
             
              
              t
<F+>

 29. No paralelogramo {a{b{c{d, med :{a  74.

<F->
        M                    
          
         
    D ccccccccccccccC
                    
                   
                  
                 
  --------------
 A             B
<F+>
<P>
 a) Qual a medida de :?{a{d{c*?
 b) Que relao h entre :{a e :{d? 
<R->

<143>
 Seo + (mais)

 Composio de tetraedros que tm 
  movimento

  Junte figuras geomtricas e no geomtricas, imaginao e cores e produza lindos trabalhos.
  Voc poder comear com uma planificao de um tetraedro como o que se segue _`[no adaptado_`].
<R+>
  Para um primeiro trabalho, copie o desenho a seguir e monte o tetraedro.
  Com oito tetraedros iguais a este _`[no adaptado_`] pode-se construir um caleidociclo: composio de slidos que tem movimento.
<R->

_`[{a menina diz_`]
  "Una os tetraedros juntando vrtice com vrtice."
<P>
_`[{o menino diz_`]
  " uma obra de arte!!!"

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<144>
 4 -- Padres e ladrilhamentos

  Aplicaes do conhecimento sobre padres e movimentos geomtricos so frequentes em recobrimento de superfcies planas. Vamos aprender um pouco sobre esse assunto.
  Joo criou um desenho em um pedao quadrangular de cartolina.
  Ele planeja recobrir sua carteira utilizando papis como este _`[no adaptado_`]. Nesse recobrimento no dever haver lacunas nem sobreposies de peas.
<P>
<R+>
 wr
  Esse tipo de pea permitir que Joo realize esse trabalho? Se a resposta for afirmativa, mostre como ficar uma parte da carteira de Joo.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Veja qual foi o resultado obtido por Joo:

_`[Figura no adaptada_`]

_`[{a menina diz_`]
  "Que legal, Joo!!!"

_`[{joo diz`]
  "..., ficou bonito!"

  Para fazer um centro de mesa hexagonal, Mariana fez antes um esboo.
  Cortou seis pedaos de cartolina, em forma de tringulo equiltero. Em um deles criou um padro como este _`[no adaptado_`], que foi repetido nos demais. Com esses tringulos ela fez o molde de seu centro de mesa.

<R+>
 wr
  Desenhe em seu caderno um esboo para esse centro de mesa.
   possvel recobrir parte de um tampo de mesa usando uma forma hexagonal como esta a seguir? Crie um padro e experimente.

<F->
   cccccccc
            
              
              
              
             
            
   --------
<F+>
<R->

 Lados e ngulos congruentes.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<145>
  Recobrimentos de plano como estes, feitos com polgonos, sem sobrep-los e sem deixar lacunas, so chamados, em Geometria, de ladrilhamento. Observe alguns ladrilhamentos feitos com lajotas de cermica ou pedras:

_`[{figuras no adaptadas_`]

   possvel encontrar ladrilhamentos que utilizam dois, trs ou mais polgonos diferentes.

<R+>
 wr
  Existem, tambm, os ladrilhamentos que utilizam um s tipo de polgono, com todos os lados e todos os ngulos congruentes. Quais so os polgonos que podem ser utilizados nesse tipo de ladrilhamento? Experimente utilizar "ladrilhos" de cartolina.
<R->

  Os nicos polgonos com os quais podemos obter o ladrilhamento descrito na situao anterior so: Quadrado, tringulo equiltero, hexgono, com os lados e os ngulos congruentes.

<146>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
_`[{para as atividades de 30 a 34, pea orientao ao professor_`]

 30. Identifique o padro usado para realizar o ladrilhamento _`[no adaptado_`]. Desenhe-o.
 31. Faa um ladrilhamento em uma folha de papel quadriculado, usando o padro _`[no adaptado_`]:
 32. Este padro _`[no adaptado_`] tem a forma de um tringulo equiltero. Faa seis iguais a ele, recorte-os e junte lado com lado em torno de um ponto P. Qual  o nome da figura geomtrica que forma o contorno do mosaico que voc obteve?
 33. Este padro _`[no adaptado_`] tem a forma de um tringulo equiltero. Faa trs iguais a ele, recorte-os e junte lado com lado, em linha reta. Qual  o nome da figura geomtrica que forma o contorno do mosaico que voc obteve?
 34. Joana comeou a desenhar um mosaico como este _`[no adaptado_`]. Copie a parte que ela j fez e desenhe mais um pouco, seguindo o mesmo padro.
<R->
 
 Voc decide onde parar.

 Aprender + (mais)

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
_`[{para as atividades de 35 a 41, pea orientao ao professor_`]

 35. No desenho _`[no adaptado_`] voc tem um trapzio.
<R->

_`[{a menina diz_`]
  "Joo, o que  um trapzio?"

_`[{joo diz_`]
  " um quadriltero com apenas um par de lados paralelos. ^c?{a{b*_l^c?{c{d*."

<R+>
 Medidas em centmetros.

 a) Construa, em uma folha de papel quadriculado, o trapzio simtrico a esse em relao ao eixo *r*.
 b) No trapzio que voc obteve, qual  o ponto simtrico a C? C e seu simtrico coincidiram? Qual  a razo desse fato?
 c) Qual  a medida da altura do trapzio {a{b{c{d?
 d) Quais so as medidas das bases do trapzio {a{b{c{d?
 e) Qual  a rea do trapzio {a{b{c{d? E do trapzio simtrico a ele?
<147>
<P>
 36. Faa um desenho como este. Obtenha outro tringulo realizando, ao redor do ponto P, uma rotao de meia-volta, no sentido horrio. Os lados correspondentes desse tringulo e do obtido na posio final so congruentes?

<F->
       M
       *       
      *     
     *       
    *           
   *            
  *               
 *                  
--------------------o
N                  P
<F+>

 Medidas em centmetros.

 37. Copie esta figura e desenhe um segmento de reta simtrico ^c?{m{l* em relao ao eixo de simetria *a*.
<P>
<F->
          M
         
        
       
      
     
    
   
  
 L

a
ccccccccccccccccccccccc 
<F+>

 38. Os tringulos {a{b{d e {c{b{d so simtricos em relao  reta {b{d. Os dois tringulos so congruentes? Justifique sua resposta.
<P>
<F->
         A
         *       
        *     
       *       
      *           
     *            
    *               
   *                  
B::::::::::::::::::::oD
                     *
                   *
                 *
               *
             *
           *
         *
         C
<F+>

 39. Comece identificando o padro _`[no adaptado_`] e verificando como foi produzido o mosaico. Em seguida, copie esta parte em uma folha de papel quadriculado, escolha as cores e pinte-a.
<P>
 40. Nesta figura _`[no adaptada_`], o pentgono {m{n{p{r{s foi obtido por uma rotao realizada sobre o pentgono {a{b{c{d{e. Responda s questes:
 a) Quais so o centro e o ngulo dessa rotao?
 b) Quais so os lados do pentgono {m{n{p{r{s correspondentes aos lados ^c?{a{e* e ^c?{b{c*? Esses lados so congruentes?

 41. Neste desenho _`[no adaptado_`], uma das figuras foi obtida por reflexo da outra em relao ao eixo *m*. Compare os lados e os ngulos correspondentes dessas figuras. O que voc observou nessa comparao?

 Os tringulos {m{p{r e {a{p{b so simtricos em relao ao eixo *m*.
<R->

<148>
<P>
 Troque ideias e resolva

  Em seu caderno, crie desenhos como Escher escolhendo um quadrado, um tringulo equiltero ou um hexgono com os lados e os ngulos congruentes. Em seguida, invente um padro, aplique um ou mais movimentos que estudamos e recubra uma parte do plano.
  O padro _`[no adaptado_`] foi obtido alterando-se um dos lados do quadrado e fazendo-se a translao desse lado para o lado oposto.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 Seo + (mais)

 A arte e a Geometria caminhando 
  juntas
 
  Usando um pentgono, foi criado o padro a seguir _`[no adaptado_`] e repetido em outros cinco.
<149>
<R+>
  Em uma cartolina branca, copie o molde a seguir _`[no adaptado_`], formado por seis pentgonos. Complete todos os pentgonos repetindo o padro dado. Procure acertar na repetio do padro para obter um bom resultado final.
<R->

_`[{o menino diz_`]
  "Recorte a figura que voc construiu, marque as dobras indicadas pelas linhas tracejadas, ajuste aresta com aresta... ...e junte-as com fita adesiva."

<R+>
 Junte as duas partes, formando um slido.

  Faa outro conjunto de pentgonos como esse. Qual  o poliedro que voc conseguiu montar?
  Agora, chegou a vez do grupo! Crie um padro e repita-o. Em seguida, mostre o resultado aos demais grupos.
<P>
 Busque inspirao observando o trabalho de outros artistas.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<150>
 Leitura + (mais)

 Escher, o gnio da arte 
  matemtica

  Olhar para as intrigantes imagens criadas por Escher  uma experincia inesquecvel!

<R+>
_`[{foto seguida por legenda_`]
 Legenda: Nesta obra de Escher, *Queda de gua* (out. 1961), vemos uma correnteza incessante que parece correr para o alto.
<R->

  Escher mais parece ser um mgico das artes grficas que preferiu criar mundos impossveis que parecessem reais.
<P>
  Ele empregou de maneira surpreendente os conceitos matemticos, em especial os da Geometria: em seu trabalho, nada  o que aparenta ser.
  Assim como Escher, podemos utilizar as mais variadas figuras como motivo para elaborar um ladrilhamento de parte do plano: 

_`[Figuras no adaptadas_`]

<151>
 Reviso cumulativa e testes

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 1. Anote apenas as sentenas verdadeiras:
 a) -0,015  um nmero natural.
 b) -2.408  um nmero inteiro.
 c) -2.408  um nmero real.
 d) 3,040040004...  um nmero real.
<P>
 2. Escreva os nmeros reais a seguir em ordem descrescente:

 -0,07; -#*b; -4,4333...; -#=b; -0,007.

 3. Nesta figura _`[no adaptada_`], *x* representa uma medida em metros.
 a) Que expresso algbrica representa o permetro desse hexgono?
 b) Calcule o permetro desse hexgono para x=#e.

 4. Sabendo que y=?n-`(3n+
  +5`)*~4, responda s questes:
 a) Qual o valor de *y* para n=-1?
 b) Para que valor de *n* obtm-se y=#:d?

 5. Simplifique as expresses algbricas a seguir:
 a) -#;cx+2y-#?by+x~4-
  -#?fx-#=dy
 b) x2-3x-9-#,bx2+
  +#;cx-9
<P>
 6. Calcule e simplifique as expresses a seguir:
 a) -3y2`(y2-#;cy+1`)+
  +`(-2y`).y2
 b) `(2x-3`)`(2x+3`)`(4x2+9`)

 7. Calcule a diferena entre os binmios 
`(-3a4b2+a3`) e `(#,b~a4b2-#;c~a3`), nessa ordem.

_`[{para as atividades de 8 a 10, pea orientao ao professor_`]

 8. Nesta figura _`[no adaptada_`], o hexgono {e{s{c{o{l{a foi obtido por uma reflexo realizada com o hexgono {r{g{i{f{p{u em relao  reta *p*. Quais so os lados de {r{g{i{f{p{u correspondentes a ^c?{s{c* e ^c?{l{a*? Esses lados so congruentes?

 9. Nesta figura _`[no adaptada_`], o ponto simtrico ao ponto A em relao a *r* :
<P>
 a) o ponto M.
 b) o ponto N.
 c) o ponto R.
 d) o ponto P.

 10. Uma figura _`[no adaptada_`] obtida a partir de outra por reflexo est representada em:

 11. (Saresp) Zeca entrou num jogo com certo nmero de fichas. Na primeira rodada, perdeu a tera parte, mas na segunda rodada ganhou trs fichas, ficando com 11 fichas no final. As fichas de Zeca no incio do jogo eram em nmero de:
 a) 11 
 b) 12 
 c) 14 
 d) 20
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Quarta Parte 
